Анне Вески родилась в 1956 г. в Рапле (Эстония). В детстве и юности выступала в самодеятельности, но профессионально работать на эстраде поначалу не собиралась. Окончила Политехнический институт в Таллине и стала работать на табачной фабрике. Затем её пригласили в студию при Филармонии и она стала выступать с различными ансамблями. В 80-е годы в Советском Союзе был спрос на прибалтийских исполнителей. Видимо, зрителям импонировал их западный акцент, раскованный внешний вид, да и песни они пели на отрешенные темы. Анне исполнила несколько песен на русском языке, ее заметили в Москве и стали приглашать уже на всесоюзном уровне.
По большому счёту, с развалом СССР прошла и популярность Анне Вески. В 90-е годы она пыталась найти себя в бизнесе по пошиву меховых изделий. Но с этим у нее не совсем получилось и она вернулась на эстраду. Анне и сейчас продолжает выступать как в Эстонии, так и в России, где она часто бывает. Конечно, былой популярности у нее сейчас нет, но на концерты всегда приходят преданные поклонники.
Семейная жизнь у Вески складывалась спокойно, не давая поводов журналистским сплетням. С первым мужем обручились еще в студенческие времена и как часто бывает, студенческая семья продержалась недолго – 4 года. От первого мужа у Анне осталась фамилия, а еще любимая дочь
В 1981 г. певица вышла замуж во второй раз за Бенно Бельчикова и вот уже более 30 лет они вместе. Живут в небольшом доме на окраине Таллина.